《偏微分方程》教学大纲

◆课程英文名称：Partial Differential Equations

◆课程类型： □通识通修 □通识通选 □学科必修 □ 学科选修 □跨学科选修

□ 专业核心 √ 专业选修（学术研究） □专业选修（就业创业）

◆适用年级专业（学科类）：一年级数学专业硕士研究生

◆先修课程：数学分析、数学物理方程、实变函数、泛函分析

◆总学分：2

◆总学时： 34

课程简介与教学目标

偏微分方程讲解基于物理与力学背景的各种类型偏微分方程的基本理论，包括基础知识和学科前沿两部分。由于偏微分方程是当代数学研究中最具活力的数学分支之一，是沟通数学与自然科学和工程技术的重要桥梁，也是工程数学、应用数学的重要基础，因此该课程具有重要的科学意义与应用价值；而且，该课程以数学物理方程、实变函数、泛函分析等为先修课程，且突出体现数学理论的发展模式，因此具有很好的教学意义；另外，该课程有一定难度，可以对培养研究生的抽象思维能力起到很好的作用。

本门课程的教学目标是：通过选取几类典型类型的偏微分方程（包括线性与非线性椭圆和抛物型方程等典型的二阶偏微分方程），使学生掌握最基本的非线性偏微分方程的理论，方法和技巧，熟悉运用现代数学方法解决线性与非线性偏微分方程的技巧，形成一定的理性思维素养和较高的分析问题、解决问题的能力，为进一步深入学习或从事教学科研工作打下良好的基础。使研究生在掌握一定科学知识的基础上，培养创新能力与素质。

本课程要求硕士研究生了解由实际问题导出偏微分方程和定解条件；熟练掌握二阶线性与非线性偏微分方程的知识内容及研究方法，有创新意识。

教学方式与方法

本课程采用课堂讲授与学术讨论相结合的教学方式，根据具体教学内容的特点采用启发式、问题解决、讨论法等教学方法。

三、教学重点与难点

（一）教学重点

基础知识中的Sobolev空间，偏微分方程的最新进展。

（二）教学难点

Sobolev空间的一般理论及在偏微分方程中的应用。

四、学时分配计划

章	内容概要	学时
1	基础知识	16
2	文献阅读与提高	18
合计		34

五、教材与教学参考书

（一）教材

[1] 高红亚，褚玉明，拟正则映射与A-调和方程，科学出版社，2013年。

[2] 近期文献。

（二）教学参考书

[3] O.Ladyzhenskaya, N.Uraltseva, Linear and quasilinear elliptic equations, Academic Press, 1968.

[4] D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 1977.

[5] M.Giaquinta, Topics in calculus of variations, Springer, 1989.

[6] R.A.Adams, J.F.Fournier, Sobolev spaces, Academic Press, 2003.

六、课程考核与成绩评定

【考核类型】□ 考试 □考查 √学期论文

【考核方式】□开卷（Open-Book） □ 闭卷（Close-Book） √项目报告/论文

□ 其它：（填写具体考核方式）

【成绩评定】

平时成绩占30%，项目论文占70%。

七、课程内容概述

第一部分基础知识

（一）教学要求

1. 通过本章的教学使学生了解偏微分方程的基础知识，为将来学习和研究偏微分方程打下良好的基础：掌握Holder空间与Lp空间的基础知识与内容；了解广义函数与Schwartz分布的内涵；在此基础上，学习Sobolev空间的基本内容和在偏微分方程理论中的应用。

（二）知识点提示

知识点：

泛函分析中的Holder空间与Lebesgue空间的基础知识与内容；广义函数的定义、意义、Schwartz分布与函数的关系； Sobolev空间及其嵌入定理；Sobolev空间在在偏微分方程理论中的应用。

重点：本部分的重点放在Sobolev空间在偏微分方程正则性理论中的应用上。这是现代偏微分方程理论中的重要内容。

难点：如何理解广义函数、如何理解Sovolev空间中的广义导数、如何理解Sobolev空间在偏微分方程中的应用。

（三）教学内容

1. Holder空间与L^p空间;

2. Schwartz分布与Sobolev平均核

3. Sobolev空间的定义与嵌入定理

4. 一些常用的与偏微分方程有关的微分算子及其性质

5. 外代数与外微分形式

6. 偏微分方程的预备知识

第二部分文献阅读与提高

教学要求

通过阅读近期在重要杂志上发表的重要文献，掌握本学科的前沿发展动态。

（二）知识点提示

知识点：因文献的具体内容而定。

重点：通过教学与研讨，使研究生们初步掌握科学研究的方法与技巧，进入学科前沿研究领域。

难点：提出问题、分析问题、解决问题的方法与技巧。

（三）教学内容

1. 文献阅读，掌握最新科研动态

2. 在阅读文献的基础上，提出需要研究的问题；

3. 分析问题，利用现有的知识，分析问题；

4. 解决问题，在分析问题的基础上，利用现代偏微分方程的研究方法与手段，解决所提出的问题。